台湾中文娱乐在线天堂 高等数学编程：掌握正项级数的比较审敛法及实例解析

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引言

在高等数学编程中，正项级数的审敛法是理解和解决复杂问题的基石。本文将详细介绍正项级数的比较审敛法，并通过实例帮助读者掌握其应用。

什么是正项级数

正项级数是指各项均为正数的级数。形式上，可以表示为：

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad a_n > 0 $$

比较审敛法概述

比较审敛法是通过与已知收敛或发散的级数进行比较，来判断给定级数的收敛性。常用的比较审敛法包括：

• 比较审敛法

• 比值审敛法

• 根值审敛法

比较审敛法详解

1. 比较审敛法

若存在两个正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$，且满足 $0 \leq a_n \leq b_n$，则：

• 若 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 也收敛。

• 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 也发散。

2. 比值审敛法

若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 满足：

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L $$

则：

• 若 $L

• 若 $L > 1$，级数发散。

• 若 $L = 1$，无法判断。

3. 根值审敛法

若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 满足：

$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L $$

则：

• 若 $L

• 若 $L > 1$，级数发散。

• 若 $L = 1$，无法判断。

实例解析

例1：比较审敛法应用

考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$。

我们知道 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是发散的调和级数，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的。

由于 $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$，根据比较审敛法，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛。

例2：比值审敛法应用

考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$。

计算比值：

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{2} $$

由于 $\frac{1}{2} < 1$，根据比值审敛法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 收敛。

编程实现

在Python中，我们可以使用以下代码来判断级数的收敛性：

import sympy as sp

## 定义级数的一般项
n = sp.symbols('n')
series_term = 1 / n**2

## 计算比值审敛法的极限
limit = sp.limit(series_term / series_term.subs(n, n + 1), n, sp.oo)
print(f"比值审敛法的极限: {limit}")

if limit < 1:
    print("级数收敛")
elif limit > 1:
    print("级数发散")
else:
    print("无法判断")

总结

通过本文的学习，我们掌握了正项级数的比较审敛法及其在编程中的应用。希望这些知识能帮助你在高等数学编程中更上一层楼。

参考文献

• 高等数学教程

• Python编程指南