台湾中文娱乐在线天堂 线性代数精讲：利用矩阵高效求解斐波那契数列通项

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引言

斐波那契数列是编程和数学中的经典问题，传统方法通过递归或迭代求解，但效率较低。本文将介绍如何利用线性代数中的矩阵方法，高效求解斐波那契数列的通项。

基础概念

斐波那契数列

斐波那契数列定义为： [ F(n) = F(n-1) + F(n-2)]，其中( F(0) = 0)，( F(1) = 1)。

矩阵乘法

矩阵乘法是线性代数的基本操作，对于矩阵( A) 和( B)，其乘积( C) 的元素( c_{ij}) 计算如下： [ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}]

矩阵方法求解斐波那契数列

构造矩阵

我们可以将斐波那契数列的递推关系表示为矩阵形式： [ \begin{bmatrix} F(n) \ F(n-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(n-1) \ F(n-2) \end{bmatrix}]

记矩阵( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix})，则： [ \begin{bmatrix} F(n) \ F(n-1) \end{bmatrix} = A^{n-1} \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}]

矩阵幂的计算

利用矩阵幂的性质，我们可以通过快速幂算法高效计算( A^{n-1})。

示例代码

以下是用Python实现的矩阵快速幂算法：

import numpy as np

def matrix_power(matrix, n):
    result = np.eye(len(matrix))
    while n > 0:
        if n % 2 == 1:
            result = np.dot(result, matrix)
        matrix = np.dot(matrix, matrix)
        n //= 2
    return result

def fibonacci(n):
    A = np.array([[1, 1], [1, 0]])
    if n == 0:
        return 0
    result = matrix_power(A, n-1)
    return result[0][0]

print(fibonacci(10))  ## 输出 55

总结

通过线性代数中的矩阵方法，我们可以高效求解斐波那契数列的通项，避免了传统方法的低效递归。掌握这种方法不仅提升编程技能，还能应用于更多实际问题中。

参考文献

• 《线性代数及其应用》

• 《算法导论》