私密插插99免费视频 向量数量积的分配律证明解析

向量数量积的分配律是向量的基本性质之一。它表明，对于任意向量(\mathbf{a})、(\mathbf{b})和(\mathbf{c})，以及任意实数(k)，以下等式成立：[\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}]下面我们来一步一步证明这个性质。

首先，回顾一下向量数量积（点积）的定义。对于两个向量(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3))和(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3))，它们的点积定义为：[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3]

现在，假设向量(\mathbf{b})和(\mathbf{c})分别为(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3))和(\mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3))，我们要证明的是：[\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}]

根据向量加法的定义，向量(\mathbf{b} + \mathbf{c})的坐标是(\mathbf{b} + \mathbf{c} = (b_1 + c_1, b_2 + c_2, b_3 + c_3))。将这个结果代入点积的定义中，我们得到：[\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = a_1(b_1 + c_1) + a_2(b_2 + c_2) + a_3(b_3 + c_3)]

展开右侧的乘法，我们得到：[a_1b_1 + a_1c_1 + a_2b_2 + a_2c_2 + a_3b_3 + a_3c_3]

根据点积的定义，我们可以将上述表达式拆分为两个点积：[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3]

这正好与之前得到的(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}))相等，因此我们证明了向量数量积的分配律。

通过这个证明过程，我们可以看到分配律在向量运算中的重要作用，它不仅适用于标量的乘法分配律，也同样适用于向量的数量积。理解这个性质对于解决涉及向量运算的问题是非常有帮助的。