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二维图形变换原理及齐次坐标详解

引言

计算机图形学是现代科技中不可或缺的一部分，而二维图形变换是其基础。本文将详细讲解二维图形变换原理及齐次坐标的概念，帮助大家深入理解这一重要知识点。

二维图形变换基础

1. 平移变换

平移变换是将图形沿某一方向移动一定距离。假设图形上某点P(x, y)经过平移后到达新位置P'(x', y')，平移向量为(Tx, Ty)，则有：

x' = x + Tx
y' = y + Ty

2. 旋转变换

旋转变换是将图形绕某一点旋转一定角度。假设绕原点旋转θ角度，点P(x, y)旋转后到达P'(x', y')，则有：

x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)
y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)

3. 缩放变换

缩放变换是将图形按比例放大或缩小。假设缩放比例为Sx和Sy，点P(x, y)缩放后到达P'(x', y')，则有：

x' = x * Sx
y' = y * Sy

齐次坐标

齐次坐标是计算机图形学中的一种表示方法，通过引入额外的坐标维度来简化变换矩阵的计算。对于二维图形，齐次坐标表示为(x, y, w)，通常w取1。

齐次坐标的优点

1. 统一变换矩阵：平移、旋转和缩放可以用统一的矩阵表示。

2. 简化计算：避免了复杂的矩阵运算。

示例

假设点P(2, 3)进行平移(Tx=1, Ty=2)、旋转(θ=45°)和缩放(Sx=2, Sy=3)的复合变换，使用齐次坐标表示如下：

1. 平移矩阵：

| 1 0 1 |
| 0 1 2 |
| 0 0 1 |

2. 旋转矩阵：

| cos(45°) -sin(45°) 0 |
| sin(45°)  cos(45°) 0 |
| 0        0         1 |

3. 缩放矩阵：

| 2 0 0 |
| 0 3 0 |
| 0 0 1 |

复合变换矩阵为上述矩阵的乘积，最终结果为：

| 2*cos(45°) -3*sin(45°) 2 |
| 2*sin(45°)  3*cos(45°) 6 |
| 0          0          1 |

总结

通过本文的讲解，希望大家对二维图形变换原理及齐次坐标有了更深入的理解。掌握这些基础知识，将为后续学习更复杂的图形学内容打下坚实基础。

参考资料

• 《计算机图形学原理及实践》

• 相关在线课程及教程