特黄一级黄色高清大片 极坐标下的应力函数与相容方程：弹性力学及有限单元法深度解析

引言

在弹性力学及有限单元法的学习中，极坐标下的应力函数和相容方程是理解复杂问题的基础。本文将详细解析这一重要章节，帮助大家深入掌握相关知识点。

极坐标下的应力函数

基本概念

在极坐标系中，应力函数是用来描述应力分布的函数，通常表示为(\Phi(r, \theta))。通过应力函数，我们可以推导出各个应力分量。

应力函数的表达式

应力函数(\Phi(r, \theta))与应力分量的关系如下：

[ \sigma_{rr} = \frac{1}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \theta^2} ]

[ \sigma_{\theta\theta} = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial r^2} ]

[ \sigma_{r\theta} = -\frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial \theta} \right) ]

相容方程

相容方程的定义

相容方程是确保应力分布满足连续性条件的方程，在极坐标下也有特定的形式。

极坐标下的相容方程

极坐标下的相容方程为：

[ \frac{\partial^2}{\partial r^2} \left( \frac{1}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \theta^2} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \left( \frac{\partial^2 \Phi}{\partial r^2} \right) - \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial r \partial \theta} \right) = 0 ]

示例解析

示例：圆形薄板的应力分布

假设一个半径为(a)的圆形薄板，边界上受均匀压力(p)，求解其应力分布。

步骤1：选择应力函数

设应力函数为(\Phi(r, \theta) = Ar^2 + B\ln(r) + C\theta)。

步骤2：代入应力函数表达式

代入应力函数表达式，得到应力分量：

[ \sigma_{rr} = \frac{2A}{r} + \frac{B}{r^2} ]

[ \sigma_{\theta\theta} = 2A ]

[ \sigma_{r\theta} = 0 ]

步骤3：应用边界条件

在边界(r = a)处，(\sigma_{rr} = -p)，解得：

[ A = -\frac{p}{2a}, \quad B = pa ]

步骤4：验证相容方程

代入相容方程验证，满足条件。

结论

通过本文的详细解析，希望大家能够更好地理解极坐标下的应力函数和相容方程，为解决实际问题打下坚实基础。

参考文献

1. 弹性力学及有限单元法教材

2. 相关学术论文