私密插插99免费视频 高等数学编程必学：正项级数的比值审敛法与根值审敛法详解

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引言

在高等数学编程中，正项级数的审敛法是判断级数收敛性的重要工具。本文将详细介绍比值审敛法和根值审敛法，帮助大家提升编程技能。

比值审敛法

定义

比值审敛法是通过比较相邻项的比值来判断级数的收敛性。

公式

设正项级数 ( \sum a_n )，计算比值极限： [ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| ]

判别准则

• 若 ( L

• 若 ( L > 1 )，级数发散。

• 若 ( L = 1 )，无法判断。

示例

考虑级数 ( \sum \frac{1}{2^n} )： [ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{2} < 1 ] 因此，级数收敛。

根值审敛法

定义

根值审敛法是通过计算项的n次方根的极限来判断级数的收敛性。

公式

设正项级数 ( \sum a_n )，计算根值极限： [ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} ]

判别准则

• 若 ( L

• 若 ( L > 1 )，级数发散。

• 若 ( L = 1 )，无法判断。

示例

考虑级数 ( \sum \left(\frac{1}{3}\right)^n )： [ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{1}{3}\right)^n} = \frac{1}{3} < 1 ] 因此，级数收敛。

编程实现

以下是用Python实现比值审敛法和根值审敛法的示例代码：

import sympy as sp

## 比值审敛法
def ratio_test(a_n):
    L = sp.limit(a_n(n+1) / a_n(n), n, sp.oo)
    return L

## 根值审敛法
def root_test(a_n):
    L = sp.limit(sp.sqrt(n) * a_n(n), n, sp.oo)
    return L

## 示例
a_n = lambda n: 1 / (2**n)
print(f"比值审敛法结果: {ratio_test(a_n)}")
print(f"根值审敛法结果: {root_test(a_n)}")

结论

掌握比值审敛法和根值审敛法，不仅能提升高等数学的理解，还能在编程中灵活应用，解决实际问题。希望本文能为大家的学习提供帮助。

参考文献

• 《高等数学》教材

• Python官方文档