计算函数1-1/（1+x∧2）中的 x 在区间[0,1]的定积分

答案：给定函数 f(x) = 1 - 1/(1 + x^2)，在区间 [0,1] 上的定积分结果为 1 - π/4 ≈ 0.21460。这个结果是通过计算得到的，具体的计算步骤如下： 首先，我们可以使用不同的数值计算工具或算法来计算这个定积分。其中一个常见的方法是使用黎曼和来逼近定积分的值。黎曼和根据给定区间上的函数值和区间的分割来计算近似值。 在这个例子中，我们使用左黎曼和来计算，这意味着我们将每个子区间的左端点的函数值相加，并乘以子区间的宽度。通过增加子区间的数量，我们可以更接近实际值。 计算出左黎曼和的表达式为：-(i (2 i n + n polygamma(0, 1 - i n) - n polygamma(0, i n + 1) - n polygamma(0, (1 - i) n) + n polygamma(0, (1 + i) n) - 2 i))/(2 n) = -1/2 i (2 i - i π - log(1 - i) + log(1 + i)) - 1/(4 n) + O((1/n)^2)，其中 n 是子区间的数量。 接下来，我们需要在给定区间上使用这个表达式来计算值。对于这个问题，我们的子区间范围是 [0, 1]，我们可以看到，当我们增加子区间的数量，我们的近似值会更接近实际值，直到无穷个子区间的极限。 最后，我们还可以计算函数 f(x) 的不定积分。该不定积分的结果为 x - tan^(-1)(x) + constant，其中 constant 是任意常数。 总而言之，函数 f(x) = 1 - 1/(1 + x^2) 在区间 [0,1] 的定积分结果为 1 - π/4 ≈ 0.21460。我们可以通过各种数值计算方法来计算这个结果，其中一个常见的方法是使用左黎曼和来逼近定积分的值。另外，我们还可以计算函数的不定积分。