答案：要计算函数 $\frac{x^3}{x^2+1}$ 在区间 $[0,1]$ 的定积分，可以使用积分的基本定义和性质。首先，我们可以对函数进行原式的分解：
$$
\frac{x^3}{x^2+1} = x - \frac{x}{x^2+1}
$$
然后，我们可以分别计算每一项在区间 $[0,1]$ 的定积分，并用积分性质进行求解。
1. 计算 $x$ 在区间 $[0,1]$ 的定积分：
$$
\int_{0}^{1} x \ dx = \frac{1}{2}x^2 \ \bigg|_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 = \frac{1}{2}
$$
2. 计算 $\frac{x}{x^2+1}$ 在区间 $[0,1]$ 的定积分：
这一部分的计算需要使用反函数的求解方法。我们可以令 $u = x^2 + 1$，然后解出 $x$ 的表达式：
$$
u = x^2 + 1 \implies x = \sqrt{u-1}
$$
所以，我们有：
$$
\frac{x}{x^2+1} = \frac{\sqrt{u-1}}{u}
$$
计算微元 $dx$：
$$
dx = \frac{du}{2\sqrt{u-1}}
$$
将 $x$ 和 $dx$ 的表达式代入原式，我们得到：
$$
\int \frac{x}{x^2+1} \ dx = \int \frac{\sqrt{u-1}}{u} \cdot \frac{du}{2\sqrt{u-1}} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C
$$
再将 $u$ 的表达式代入，得到：
$$
\int \frac{x}{x^2+1} \ dx = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C
$$
计算函数 $\frac{x}{x^2+1}$ 在区间 $[0,1]$ 的定积分：
$$
\int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+1} \ dx = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| \ \bigg|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\ln(1+1) - \frac{1}{2}\ln(0+1) = \frac{1}{2}\ln2
$$
最后，我们将两部分的定积分结果相加，得到：
$$
\int_{0}^{1} \frac{x^3}{x^2+1} \ dx = \int_{0}^{1} x \ dx - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+1} \ dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln2 = \frac{2-\ln2}{2}
$$
所以，函数 $\frac{x^3}{x^2+1}$ 在区间 $[0,1]$ 的定积分为 $\frac{2-\ln2}{2}$。
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