计算矩阵 [[3,1,0],[1,3,0],[0,0,1]] 的逆矩阵

答案：给定矩阵为: \[ \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \] 根据Wolfram Alpha返回的信息，矩阵的逆是: \[ \frac{1}{8} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \\ \end{bmatrix} \] 该矩阵的维度是3x3。此外，根据特征多项式、特征值和特征向量的计算结果，可以得出该矩阵的特征值为1、1/2和1/4，分别对应的特征向量为(0, 0, 1)、(-1, 1, 0)和(1, 1, 0)。此外，矩阵也可以通过对角化和正交对角化进行分解。其中，对角化的计算结果如下: \[ \begin{bmatrix} \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} & 0 \\ -\frac{1}{8} & \frac{3}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \] 此外，还可以通过正交对角化进行分解，计算结果如下: \[ \begin{bmatrix} \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} & 0 \\ -\frac{1}{8} & \frac{3}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \end{bmatrix} \] 最后，该矩阵的条件数为4。