计算矩阵 [[0.1875,0.0625,0.0625],[0.0625,0.1875,-0.0625],[0.0625,-0.0625,0.1875]] 的逆矩阵

答案：给定矩阵：[[0.1875, 0.0625, 0.0625], [0.0625, 0.1875, -0.0625], [0.0625, -0.0625, 0.1875]]，它的逆矩阵是： [[8, -4, -4], [-4, 8, 4], [-4, 4, 8]] 这个矩阵是一个3行3列的方阵，它是对称矩阵，并且它的迹为24，行列式为256。它的特征多项式是：$-\lambda^3 + 24\lambda^2 - 144\lambda + 256$，特征值为：$\lambda_1 = 16$，$\lambda_2 = 4$，$\lambda_3 = 4$。特征向量为：$v_1 = (-1, 1, 1)$，$v_2 = (1, 0, 1)$，$v_3 = (1, 1, 0)$。 矩阵可以对角化，因此可以表示为：$(8, -4, -4; -4, 8, 4; -4, 4, 8) = SJS^{-1}$，其中 $S = (1, 1, -1; 0, 1, 1; 1, 0, 1)$，$J = (4, 0, 0; 0, 4, 0; 0, 0, 16)$，$S^{-1} = (0.333333, -0.333333, 0.666667; 0.333333, 0.666667, -0.333333; -0.333333, 0.333333, 0.333333)$。 而且，矩阵还可以通过正交对角化表示为：$(8, -4, -4; -4, 8, 4; -4, 4, 8) = ODO^T$，其中 $O = (0.57735, 0.707107, 0.408248; -0.57735, 0.707107, -0.408248; -0.57735, 6.40988\times10^{-17}, 0.816497)$，$D = (16, 0, 0; 0, 4, 0; 0, 0, 4)$，$O^T = (0.57735, -0.57735, -0.57735; 0.707107, 0.707107, 6.40988\times10^{-17}; 0.408248, -0.408248, 0.816497)$。 以上是关于给定矩阵的一些性质和计算结果。